4. Quelques applications mathématiques
des déterminants
4.1 Calcul possible pour A
−1
Cette méthode est quasi-impraticable si n > 3.
• On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice
de A.
• On transpose la comatrice de A.
• On divise par det A.
4.2 Rang d'une matrice
Le rang d'une matrice quelconque A, est égal au plus grand entier s tel que l'on
puisse extraire de A une matrice carrée d'ordre s inversible, c'est-à-dire de déterminant non nul.
4.3 Formules de Cramer
La solution d'un système de Cramer d'écriture matricielle AX = B est donnée
par :
x j =
det(A j )
det(A)
1 j n
où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la j-ième colonne par la
colonne des seconds membres B.
Ces formules sont utiles quand les coefficients du système dépendent d'un, ou plusieurs, paramètre. Sinon la méthode du pivot de
Gauss est préférable.
Déterminants
60
196
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 196
des déterminants
4.1 Calcul possible pour A
−1
Cette méthode est quasi-impraticable si n > 3.
• On calcule la matrice des cofacteurs des éléments de A, appelée comatrice
de A.
• On transpose la comatrice de A.
• On divise par det A.
4.2 Rang d'une matrice
Le rang d'une matrice quelconque A, est égal au plus grand entier s tel que l'on
puisse extraire de A une matrice carrée d'ordre s inversible, c'est-à-dire de déterminant non nul.
4.3 Formules de Cramer
La solution d'un système de Cramer d'écriture matricielle AX = B est donnée
par :
x j =
det(A j )
det(A)
1 j n
où A j est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la j-ième colonne par la
colonne des seconds membres B.
Ces formules sont utiles quand les coefficients du système dépendent d'un, ou plusieurs, paramètre. Sinon la méthode du pivot de
Gauss est préférable.
Déterminants
60
196
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 196