1. Forme bilinéaire et forme quadratique
1.1 Définitions
• Forme bilinéaire symétrique
Une forme bilinéaire f sur E est une application de E × E dans K, linéaire par
rapport à chaque variable.
Ele est symétrique si :
∀(x,y) ∈ E × E
f(x,y) = f (y,x) .
Une application q de E dans K est une forme quadratique sur E s'il existe une
forme bilinéaire symétrique f telle que :
∀x ∈ E
q(x) = f (x,x) .
q est la forme quadratique associée à f.
• Forme polaire d'une forme quadratique
Une forme quadratique q sur E est associée à une seule forme bilinéaire symétrique f donnée par :
∀(x,y) ∈ E × E
f(x,y) =
1
2
q(x + y) − q(x) − q(y)
.
f est la forme polaire de q.
• Forme positive
Si K = R, une forme quadratique q, et sa forme polaire f, sont dites positives si :
∀x ∈ E
q(x) 0 .
• Forme définie positive
Si K = R, une forme bilinéaire symétrique f, et sa forme quadratique associée q,
est dite définie positive si :
∀x ∈ E \ {0}
q(x) > 0 .
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63 Espaces préhilbertiens
2 e année
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