Au voisinage de 0, on a :
|ln x|
α
= o(x
β
) où α > 0 et β < 0 .
1.3 Propriétés des fonctions équivalentes
Si f 1 ∼
x 0
g 1 et f 2 ∼
x 0
g 2 , alors f 1 f 2 ∼
x 0
g 1 g 2 et
f 1
f 2
∼
x 0
g 1
g 2
·
Si f ∼
x 0
g et si lim
x→x 0
g(x) = l , alors lim
x→x 0
f (x) = l .
Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul.
Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une
somme, ni dans une fonction composée.
1.4 Équivalents classiques
e
x
− 1 ∼
0
x
;
sin x ∼
0
x
;
1 − cos x ∼
0
x
2
2
;
ln(1 + x) ∼
0
x ;
tan x ∼
0
x ; (1 + x)
α
− 1 ∼
0
αx.
2. Branche infinie d'une courbe
2.1 Définition
La courbe représentative C f d'une fonction f admet une branche infinie lorsque
O M tend vers l'infini avec M ∈ C f .
2.2 Asymptote
Si lim
x→+∞
f (x) = l (resp. lim
x→−∞
f (x) = l ), la droite y = l est une asymptote horizontale de C f .
Si lim
x→x 0
f (x) = +∞ (resp. lim
x→x 0
f (x) = −∞ ), la droite x = x 0 est une asymptote verticale de C f .
Si lim
x→+∞
f (x) − (ax + b)
= 0 (resp. lim
x→−∞
f (x) − (ax + b)
= 0 ), la droite
y = ax + b est une asymptote oblique de C f .
Limites : comparaisons locales
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