1. Comparaison au voisinage d'un point
Soit f et g deux fonctions définies sur I , et x 0 un point, fini ou infini, appartenant
à I , ou extrémité de I .
1.1 Définitions
• On dit que f est dominée par g au voisinage de x 0 s'il existe A > 0 tel que
| f (x)| A |g(x)| pour tout x d'un voisinage J de x 0 .
notation : f = O(g) .
Si g ne s'annule pas sur J, cela signifie que
f
g
est bornée sur J.
• On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérant devant f, au
voisinage de x 0 si, pour tout ε > 0 , il existe un voisinage J de x 0 tel que l'on
ait | f (x)| ε |g(x)| pour tout x de J.
notation : f = o(g).
Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie :
lim
x→x 0
f (x)
g(x)
= 0 .
• On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de x 0 , si on a f − g = o(g).
Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 , cela signifie :
lim
x→x 0
f (x)
g(x)
= 1 .
notation : f ∼ g ou f ∼
x 0
g .
La relation ∼
x 0
est transitive. Si on sait que f ∼
x 0
g et g ∼
x 0
h, on en déduit que f ∼
x 0
h.
1.2 Exemples fondamentaux
Au voisinage de +∞ , on a :
(ln x)
α
= o(x
β
) et x
β
= o(e
γx
) où α > 0 , β > 0 , γ > 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
13
Analyse dans
R
4
1 re année
Limites :
comparaisons locales
9782100549245-fredon-C04.qxd 18/06/10 10:05 Page 13