1. Formes multilinéaires alternées
1.1 Définitions
Soit E un K-espace vectoriel. Une application f, de E
n dans K, est une forme
n-linéaire si chacune de ses applications partielles
x i → f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x n )
est linéaire.
On dit de plus que f est alternée si f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x p ) = 0 dès que deux coordonnées, au moins, sont égales.
f étant une forme n-linéaire alternée, σ une permutation appartenant à S n , de
signature ε(σ), on a :
f (x σ(1) ,. . . ,x σ(n) ) = f (x 1 ,. . . ,x n ) ε(σ) .
1.2 Cas où dim E = n
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.
Pour toute base (e 1 ,. . . ,e n ) de E et tout λ ∈ K, il existe une forme n-linéaire
alternée unique f telle que
f (e 1 ,. . . ,e n ) = λ .
f étant une forme n-linéaire alternée non nulle, on a :
(x 1 ,. . . ,x n ) famille liée de E ⇐⇒ f (x 1 ,. . . ,x n ) = 0 .
2. Déterminants
2.1 Déterminant de n vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E.
On appelle déterminant de n vecteurs x 1 ,. . . ,x n de E, relativement à la base B de
E, la valeur notée det B (x 1 ,. . . ,x n ) de l'unique forme n-linéaire alternée det B telle
que det B (e 1 ,. . . ,e n ) = 1 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Déterminants
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1.1 Définitions
Soit E un K-espace vectoriel. Une application f, de E
n dans K, est une forme
n-linéaire si chacune de ses applications partielles
x i → f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x n )
est linéaire.
On dit de plus que f est alternée si f (x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x p ) = 0 dès que deux coordonnées, au moins, sont égales.
f étant une forme n-linéaire alternée, σ une permutation appartenant à S n , de
signature ε(σ), on a :
f (x σ(1) ,. . . ,x σ(n) ) = f (x 1 ,. . . ,x n ) ε(σ) .
1.2 Cas où dim E = n
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.
Pour toute base (e 1 ,. . . ,e n ) de E et tout λ ∈ K, il existe une forme n-linéaire
alternée unique f telle que
f (e 1 ,. . . ,e n ) = λ .
f étant une forme n-linéaire alternée non nulle, on a :
(x 1 ,. . . ,x n ) famille liée de E ⇐⇒ f (x 1 ,. . . ,x n ) = 0 .
2. Déterminants
2.1 Déterminant de n vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E.
On appelle déterminant de n vecteurs x 1 ,. . . ,x n de E, relativement à la base B de
E, la valeur notée det B (x 1 ,. . . ,x n ) de l'unique forme n-linéaire alternée det B telle
que det B (e 1 ,. . . ,e n ) = 1 .
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