3.3 Rang d'un système
Le nombre d'équations du système réduit en escalier obtenu par la méthode de
Gauss est le rang r de la matrice A, ou du système (S).
3.4 Inconnues principales, inconnues secondaires
Soit r le rang de (S) et p le nombre d'inconnues.
Si r = p, (S) a une solution unique.
Si p > r, (S) a une infinité de solutions. Les r inconnues qui figurent au début
des r équations issues de la méthode de Gauss sont les inconnues principales.
Elles peuvent se calculer de façon unique en fonction des p − r autres inconnues,
dites inconnues secondaires.
Le choix des inconnues principales et secondaires d'un système est
largement arbitraire. Mais leur nombre est toujours le même.
3.5 Méthode de Gauss-Jordan
Dans cette variante du pivot de Gauss, à chaque étape on fait apparaître des zéros
à la fois au-dessus et au-dessous du pivot.
4.
Systèmes de Cramer
4.1 Définition
Un système est dit de Cramer s'il a une solution, et une seule.
Cette condition est équivalente à :
n = p et A inversible.
4.2 Application au calcul de A
−1
A étant inversible, pour obtenir A
−1 , il suffit de résoudre le système Y = AX, qui
admet pour solution X = A
−1 Y.
Systèmes linéaires
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