2.4 Écriture vectorielle
Désignons par C 1 ,. . . ,C p les colonnes de A. Elles représentent des vecteurs de
K
n , et le système (S) se ramène à une égalité dans K
n :
x 1 C 1 + · · · + x p C p = B .
(S) est compatible si, et seulement si, B ∈ Vect(C 1 ,. . . ,C p ).
3. Méthodes de résolution
3.1 Systèmes en escalier
• Définition
Un système (S) est en escalier, ou échelonné, si le nombre de premiers coefficients nuls successifs de chaque équation est strictement croissant.
• Réduction
Quand un système contient une équation du type :
0 x 1 + · · · + 0 x n = b ,
si b = / 0, le système est impossible ;
si b = 0, on peut supprimer cette équation, ce qui conduit au sytème réduit.
3.2 Méthode du pivot de Gauss
Soit A la matrice associée au système (S).
En permutant éventuellement deux colonnes, on peut supposer que la première
colonne de A n'est pas nulle.
En permutant deux lignes si nécessaire, on peut supposer a 11 = / 0.
Pour i > 1 , les transformations L i
L i −
a i1
a 11
L 1 éliminent l'inconnue x 1 dans
les lignes autres que L 1 .
Le terme a 11 est le pivot de l'étape de l'algorithme.
En réitérant le procédé, on aboutit à une matrice triangulaire.
En calcul numérique, pour minimiser les erreurs d'arrondi, on choisit comme pivot le terme de plus grande valeur absolue (méthode du
pivot partiel).
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Systèmes linéaires 59
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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