Si pour tout i ∈ {1,. . . ,n} , on décompose x i =
n
j=1
a i j e j , alors :
det B (x 1 ,. . . ,x n ) =
σ∈S n
ε(σ) × a 1,σ(1) × . . . × a n,σ(n) .
2.2 Déterminant d'une matrice carrée
Soit A =
a i j
une matrice carrée d'ordre n.
On appelle déterminant de A le déterminant de ses n vecteurs colonnes, considérés comme éléments de K
n rapporté à sa base canonique.
2.3 Déterminant d'un endomorphisme
Après avoir montré que deux matrices semblables ont le même déterminant, on
appelle déterminant d'un endomorphisme f, le déterminant commun à ses matrices représentatives.
3. Propriétés des déterminants
3.1 Transposée
det A = det
t A .
Les propriétés relatives aux colonnes sont donc aussi valables pour
les lignes.
3.2 Propriétés d'une forme multilinéaire alternée
• On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une de ses lignes
(resp. colonnes) une combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes).
Cette propriété est très utilisée pour faire apparaître des 0 sur une colonne (resp.
ligne).
• Multiplier une ligne (ou une colonne) d'un déterminant par un scalaire, c'est
multiplier le déterminant par ce scalaire.
Si A ∈ M n (K) , on a donc det(λA) = λ
n det(A) puisqu'on peut mettre λ en facteur dans chacune des n colonnes de A.
• Toute transposition sur les lignes (ou les colonnes) transforme detA en − detA.
3.3 Produit
det (A B) = det A × det B .
Déterminants
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