3. Trace d'une matrice
3.1 Définition
La trace d'une matrice A = (a i j ), carrée d'ordre n, est la somme de ses éléments
diagonaux, soit :
trA =
n
i=1
a ii ∈ K .
3.2 Propriétés
tr(A + B) = trA + trB ; tr(λ A) = λ trA
tr(AB) = tr(B A)
; tr(P M P
−1
) = trM.
Attention, en général tr(ABC) = / tr(B AC) .
3.3 Trace d'un endomorphisme
• Définition
Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les
matrices qui le représentent sont semblables et ont la même trace.
Cette trace commune est la trace de l'endomorphisme f.
• Trace d'un projecteur
Le rang d'un projecteur est égal à sa trace.
Changements de bases
58
188
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 188
3.1 Définition
La trace d'une matrice A = (a i j ), carrée d'ordre n, est la somme de ses éléments
diagonaux, soit :
trA =
n
i=1
a ii ∈ K .
3.2 Propriétés
tr(A + B) = trA + trB ; tr(λ A) = λ trA
tr(AB) = tr(B A)
; tr(P M P
−1
) = trM.
Attention, en général tr(ABC) = / tr(B AC) .
3.3 Trace d'un endomorphisme
• Définition
Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les
matrices qui le représentent sont semblables et ont la même trace.
Cette trace commune est la trace de l'endomorphisme f.
• Trace d'un projecteur
Le rang d'un projecteur est égal à sa trace.
Changements de bases
58
188
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 188