On a alors :
A
= Q
−1 A P.
Les matrices A et A
sont dites équivalentes. Elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes.
Si E = F avec B = C et B
= C
, alors P = Q , soit A
= P
−1 A P.
Les matrices A et A
sont dites semblables.
2. Rang d'une matrice
2.1 Définition
Soit A une matrice de format (n, p), E un espace vectoriel de dimension p, F un
espace vectoriel de dimension n.
Quelles que soient les bases B et C choisies dans E et F, le rang de l'application
linéaire f associée à A est toujours le même. Ce rang est appelé rang de A.
C'est aussi le rang des vecteurs colonnes de A, c'est-à-dire la dimension du sousespace vectoriel qu'ils engendrent.
2.2 Rang de la transposée
A et
t A ont même rang. On peut donc définir le rang de A à partir de ses lignes.
2.3 Théorème
Une matrice de format (n, p) est de rang r (avec r min(n, p) ) si, et seulement
si, elle est de la forme U J r V où U et V sont des matrices carrées inversibles et
J r la matrice de M n, p (K ) définie par son terme général :
α i j =
1 si i = j r,
0 dans les autres cas.
En particulier, une matrice carrée d'ordre n est inversible si, et seulement si, son
rang est égal à n.
2.4 Calcul du rang
Les opérations élémentaires sur les lignes, ou les colonnes, d'une matrice ne
modifient pas le rang. On les utilise pour se ramener à une matrice de rang connu.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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