1. Changement de bases
1.1 Matrice de passage
Soit B = (e 1 ,. . . ,e n ) et B
= (e
1 ,. . . ,e
n ) deux bases de E. On appelle matrice de
passage de la base B à la base B
, la matrice P dont les colonnes C j sont les composantes des vecteurs e
j dans la base B.
P est la matrice de l'identité de E muni de B
, dans E muni de B.
Si P
est la matrice de passage de B
à B, on a P P
= P
P = I n .
Toute matrice de passage est donc inversible.
Réciproquement, toute matrice inversible peut être considérée comme une
matrice de passage.
1.2 Effet d'un changement de bases
• sur les coordonnées d'un vecteur
Si X est la matrice colonne des composantes de x dans B, et X
la matrice colonne
des composantes de x dans B
, on a :
X = P X
, ou encore X
= P
−1 X.
• sur l'expression d'une forme linéaire
Si une forme linéaire sur E est représentée par une matrice ligne
U = (α 1 ,. . . ,α n ) dans une base B, et par U
dans une base B
, on a
f (x) = U X = U
X
, soit :
U
= U P.
1.3 Matrices équivalentes, matrices semblables
Soit f une application linéaire de E dans F, B et B
deux bases de E, C et C
deux
bases de F.
Notons P la matrice de passage de B à B
,
Q la matrice de passage de C à C
,
A la matrice de f dans les bases B et C ,
A
la matrice de f dans les bases B
et C
.
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58 Changements de bases
1 re année
et
2 e année
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