2. Matrices carrées d'ordre n
2.1 Structures algébriques
M n (K) est une algèbre isomorphe à L (K
n
).
Les matrices diagonales, les matrices triangulaires supérieures (ou inférieures)
constituent des sous-algèbres.
2.2 Formule du binôme de Newton
Si A et B commutent, alors :
∀m ∈ N
(A + B)
m
=
m
k=0
m
k
A
k B
m−k .
N'oubliez pas de vérifier la condition AB = B A.
2.3 Matrices inversibles
Une matrice A ∈ M n (K) est inversible s'il existe B ∈ M n (K) telle que :
AB = B A = I n .
Si B existe, elle est unique et on la note A
−1 .
Les éléments inversibles de M n (K) forment un groupe GL n (K), isomorphe au
groupe linéaire GL(K
n
). On a en particulier :
(A B)
−1
= B
−1 A
−1 .
Si A est inversible, l'endomorphisme f de E, muni d'une base B, qui lui est associé est inversible ; et A
−1 est la matrice de f
−1 .
Dans M n (K), pour que A soit inversible, il suffit qu'elle soit inversible à droite,
ou à gauche.
3. Transposition
3.1 Définition
La transposée d'une matrice A de format (n, p), est la matrice de format ( p,n),
notée
t A, de terme général b i j :
∀i ∈ {1,. . . ,p} ∀j ∈ {1,. . . ,n}
b i j = a ji .
Calcul matriciel
57
184
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 184