1. Opérations sur les matrices
1.1 Espace vectoriel M n, p (K)
• Soit λ ∈ K, et A = (a i j ) et B = (b i j ) deux matrices de M n, p (K).
On définit :
λ A = (λ a i j ) et A + B = (a i j + b i j ).
Attention, on ne peut additionner deux matrices que si elles sont de
même format.
Pour ces deux lois, M n, p (K) est un espace vectoriel.
• Pour i ∈ {1,. . . ,n} et j ∈ {1,. . . ,p} fixés, on note E i j la matrice dont le coefficient situé sur la ligne i et la colonne j est égal à 1, et dont les autres coefficients sont égaux à 0.
E i j
1in
1 j p
est la base canonique de M n, p (K), qui est donc
de dimension n p.
• La bijection canonique ϕ de L (K
p
,K
n
) dans M n, p (K) est un isomorphisme.
1.2 Produit de matrices
Si A est de format (n, p) et B de format ( p,q), on définit la matrice C = AB , de
format (n,q), par :
∀i ∀ j
c i j =
p
k=1
a ik b k j .
Attention à la condition d'existence de AB :
nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B.
Ce produit est la traduction de la composée des applications linéaires f ◦ g.
Il en a donc les propriétés : il est associatif et non commutatif.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Calcul matriciel
1 re année
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