1. Homothétie
Soit k ∈ K
∗ . L'homothétie de rapport k est l'application :
h k : E −→ E
x → kx
Dans cette définition, n'oubliez pas que k ne dépend pas de x.
2. Projections et symétries
2.1 Définitions
Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
Tout vecteur x de E s'écrit de façon unique sous la forme x = x 1 + x 2 avec
x 1 ∈ F et x 2 ∈ G.
L'application p de E dans E : x → p(x) = x 1 est linéaire.
C'est la projection sur F, parallèlement à G.
L'application s F de E dans E : x → s F (x) = x 1 − x 2 est linéaire.
C'est la symétrie par rapport à F, parallèlement à G.
On définit de même la projection q sur G, parallèlement à F, et la symétrie s G
par rapport à G, parallèlement à F.
2.2 Propriétés
p + q = Id E ; p ◦ q = q ◦ p = 0 ; p
2
= p ; q
2
= q ; s
2
F = Id E .
Ker p = Im q = G ; Ker q = Im p = F .
p et s F sont liées par l'égalité :
s F = 2 p − Id E .
2.3 Projecteurs
D'une facon générale, on appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel
que p ◦ p = p.
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55 Applications linéaires
particulières
1 re année
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