On a alors :
E = Ker p ⊕ Im p ,
et p est la projection sur Im p, parallèlement à Ker p.
Attention, l'égalité E = Ker f ⊕ Im f entraîne seulement que
Im f = Im f
2 , et pas que f soit un projecteur.
2.4 Symétries
D'une facon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E
dans E, telle que s ◦ s = Id E .
Alors F = {x ∈ E ; s(x) = x} et G = {x ∈ E ; s(x) = −x} sont des sousespaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F, parallèlement
à G.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Applications linéaires particulières 55
179
Algèbre linéaire et multilinéaire
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E = Ker p ⊕ Im p ,
et p est la projection sur Im p, parallèlement à Ker p.
Attention, l'égalité E = Ker f ⊕ Im f entraîne seulement que
Im f = Im f
2 , et pas que f soit un projecteur.
2.4 Symétries
D'une facon générale, on appelle symétrie de E toute application linéaire s, de E
dans E, telle que s ◦ s = Id E .
Alors F = {x ∈ E ; s(x) = x} et G = {x ∈ E ; s(x) = −x} sont des sousespaces supplémentaires de E, et s est la symétrie par rapport à F, parallèlement
à G.
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