L'ensemble des formes linéaires sur E est le K-espace vectoriel L(E,K).
On l'appelle l'espace dual de E et on le note E
∗ .
Si E est de dimension finie, on a dim E = dim E
∗ .
• Écriture d'une forme linéaire
Si E est de dimension finie et admet (e 1 ,. . . ,e n ) pour base, toute forme linéaire f
sur E est de la forme :
x =
n
i=1
x i e i → f (x) =
n
i=1
α i x i
où les α i = f (e i ) sont des scalaires qui caractérisent f.
• Forme linéaire et hyperplan
– Étant donnée une forme linéaire ϕ sur E non nulle, le sous-espace vectoriel
H = Ker ϕ est un hyperplan de E.
Toute forme linéaire ψ nulle sur H est colinéaire à ϕ.
– En dimension finie, un hyperplan admet donc une équation de la forme :
n
i=1
α i x i = 0 .
• Base duale
Soit B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base d'un espace vectoriel E de dimension finie. Les
formes linéaires coordonnées (ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ) définies par
∀i ∀ j
ϕ i (e j ) = δ
j
i
constituent une base B
∗ de E
∗ appelée base duale de B.
Le symbole de Kronecker δ
j
i vaut 1 si i = j et 0 si i = / j.
On a donc dim E = dim E
∗ .
5. Détermination d'une application linéaire
• Soit A = (a 1 ,. . . ,a n ) une base de E et B = (b 1 ,. . . ,b n ) une famille de n vecteurs de F.
Applications linéaires
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