L'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F si, et seulement si, f est surjective.
3.2 Image d'une famille libre
Si A est une partie liée dans E, alors f (A) est une partie liée dans F, ou, par
contraposition :
f (A) libre dans F ⇒ A libre dans E.
f est injective si, et seulement si, pour toute partie libre L de E, f (L) est une partie libre de F.
3.3 Image d'une base
L'image d'une base de E est une base de F si, et seulement si, f est bijective.
4. Rang d'une application linéaire
4.1 Théorème noyau-image
Soit f une application linéaire de E dans F. Si E = Ker f ⊕ G, la restriction de f
à G est un isomorphisme de G dans Im f .
4.2 Théorème du rang
Si E est de dimension finie, on a :
dim E = dim Ker f + dim Im f .
dim Im f est appelé rang de f, et souvent noté rg f.
4.3 Théorème
Si E et F sont de même dimension finie, on a :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
N'oubliez pas l'hypothèse sur E et F.
4.4 Forme linéaire et hyperplan
• Forme linéaire
Soit E un K-espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application
linéaire de E dans K.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Applications linéaires 54
175
Algèbre linéaire et multilinéaire
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:24 Page 175