L (E) est une algèbre.
(GL(E),◦) est un groupe, appelé groupe linéaire de E.
2. Noyau et image d'une application linéaire
2.1 Définitions
Soit f une application linéaire de E dans F.
• L'image d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.
En particulier, f (E) est un sous-espace vectoriel de F appelé image de f, et noté
Im f . Il est engendré par les images des vecteurs d'une partie génératrice de E.
• L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E.
En particulier,
−1
f ({0}) est un sous-espace vectoriel de E. On l'appelle le noyau
de f, et on le note Ker f.
2.2 Théorème
f surjective ⇐⇒ Im f = F
;
f injective ⇐⇒ Ker f = {0}.
2.3 Noyau d'une restriction
Soit f une application linéaire de E dans F et E 1 un sous-espace vectoriel de E.
La restriction de f à E 1 a pour noyau :
Ker
f |E 1
= Ker f ∩ E 1 .
La restriction de f à tout supplémentaire G de Ker f définit donc un isomorphisme
de G sur Im f .
2.4 Réflexe utile
f ◦ g = 0 ⇐⇒ Img ⊂ Ker f .
3. Image d'une famille de vecteurs
Soit f une application linéaire de E dans F.
3.1 Image d'une famille génératrice
Si G engendre E, alors f (G) engendre f (E).
Applications linéaires
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