L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure que F = E. Il
faut aussi une inclusion.
Si dim F = dim E − 1, on dit que F est un hyperplan de E.
Comme exemples d'hyperplans, vous pouvez penser à une droite
dans le plan ou à un plan dans l'espace.
2.3 Dimension d'une somme
• Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, on a :
dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) .
En particulier, si F et G sont supplémentaires :
dim(F ⊕ G) = dim F + dim G .
• Tout sous-espace vectoriel F de E admet des supplémentaires, qui ont tous pour
dimension : dim E − dim F .
• F et G sont supplémentaires si, et seulement si, en réunissant une base de F et
une base de G, on obtient une base de E.
On dit qu'on a choisi une base de E adaptée à la somme directe.
Attention à ne pas partir d'une base de E, car il n'y a aucune raison
de pouvoir en extraire une base de F et une base de G, ni même des
vecteurs de F ou de G.
• Généralisation
Si E est de dimension finie, on a :
dim
i∈I
E i =
i∈I
dimE i .
Si la somme
i∈I
E i est directe, alors, pour que E =
i∈I
E i , il faut et il suffit
que :
dimE =
i∈I
dimE i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Dimension d’un espace vectoriel 53
171
Algèbre linéaire et multilinéaire
9782100549245-fredon-C52-67.qxd 28/06/10 9:23 Page 171