• Tout espace vectoriel non réduit à {0} possède au moins une base.
Attention à ne jamais dire la base de E, car il n'y a pas unicité.
1.3 Dimension d'un espace vectoriel
Si E possède une base comportant un nombre fini n de vecteurs, on dit que E est
de dimension finie.
Dans ce cas, toute base de E comporte aussi n vecteurs. On dit que n est la dimension de E ; on la note dim E .
On convient que l'espace vectoriel {0} est de dimension nulle.
1.4 Recherche de bases
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
Toute famille libre de E a au plus n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs, c'est
une base.
Toute famille génératrice de E a au moins n vecteurs. Si elle comporte n vecteurs,
c'est une base.
Si on connaît déjà la dimension n de E, et si on considère une famille
de n vecteurs, pour démontrer que c'est une base, il suffit de démontrer : soit que la famille est libre, soit que la famille est génératrice.
2. Autres dimensions
2.1 Dimension de E × F
Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies.
Si (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E, et ( f 1 ,. . . , f p ) une base de F, alors l'ensemble
des couples (e i ,0) et (0, f j ) où 1 i n et 1 j p , est une base de E × F.
Par conséquent dim(E × F) = dim E + dim F .
2.2 Dimension d'un sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace vectoriel F de E
est de dimension finie, et
dim F dim E .
D'autre part, si dim F = dim E, alors F = E.
Dimension d’un espace vectoriel
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