1. Espaces vectoriels de dimension finie
1.1 Dépendance et indépendance linéaire
• On dit qu'une famille (x 1 ,. . . ,x n ) de vecteurs de E est une famille libre, ou que
les vecteurs sont linéairement indépendants, si :
n
i=1
λ i x i = 0 ⇒ ∀i λ i = 0 .
Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée, ou que les vecteurs sont linéairement dépendants.
• Toute sous-famille non vide d'une famille libre est libre.
• Pour qu'une famille (x 1 ,. . . ,x n ) soit liée, il faut, et il suffit, que l'un de ses éléments soit combinaison linéaire des autres.
Cas particuliers : une famille qui contient le vecteur 0 est liée ; deux
vecteurs sont liés si, et seulement si, ils sont colinéaires.
1.2 Bases
• On appelle base d'un espace vectoriel E toute famille libre de E qui
engendre E.
• (e 1 ,. . . ,e n ) est une base de E si, et seulement si, tout vecteur x de E peut
s'écrire de façon unique sous la forme :
x =
n
i=1
x i e i .
Les scalaires x i sont les composantes du vecteur x.
• Théorème de la base incomplète
Si E est un espace vectoriel non réduit à {0}, toute famille libre de E peut être
complétée en une base de E.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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Dimension
d’un espace vectoriel
1 re année
et
2 e année
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