2.3 Somme de deux sous-espaces vectoriels
E 1 et E 2 étant deux sous-espaces vectoriels de E, on appelle somme de E 1 et de
E 2 , et on note E 1 + E 2 , l'ensemble des vecteurs du type x 1 + x 2 où x 1 ∈ E 1 et
x 2 ∈ E 2 .
E 1 + E 2 est le sous-espace vectoriel engendré par E 1 ∪ E 2 .
2.4 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
• Définitions
Quand tout vecteur x de F = E 1 + E 2 s'écrit, de façon unique, sous la forme
x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ E 1 et x 2 ∈ E 2 , on dit que F est somme directe de E 1 et de
E 2 , et on note F = E 1 ⊕ E 2 .
On dit aussi que E 1 et E 2 sont supplémentaires dans F.
• Théorème
E = E 1 ⊕ E 2 ⇐⇒ E = E 1 + E 2 et E 1 ∩ E 2 = {0} .
2.5 Généralisation
• Somme de sous-espaces vectoriels
Soit (E i ) i∈I une famille finie de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E.
On appelle somme des E i , et on note
i∈I
E i , l'ensemble des vecteurs du type
i∈I
x i où x i ∈ E i pour tout i ∈ I.
i∈I
E i est le sous-espace vectoriel engendré par
i∈I
E i .
Si I = {1,. . . ,n}, la somme se note aussi E 1 + · · · + E n .
• Somme directe de sous-espaces vectoriels
Quand tout vecteur x de
i∈I
E i s'écrit de façon unique sous la forme
i∈I
x i avec
x i ∈ E i pour tout i ∈ I, on dit que la somme des E i est directe et on la note
i∈I
E i .
Si I = {1,. . . ,n}, on note aussi E 1 ⊕ · · · ⊕ E n .
Pour démontrer que la somme des E i est directe, la méthode la plus
rapide est de partir d'une somme nulle x 1 + · · · + x n = 0 avec
x i ∈ E i pour tout i, et de démontrer que cela entraîne que tous les x i
sont nuls.
Structure d’espace vectoriel
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