1.3 Propriété
∀λ ∈ K ∀x ∈ E
λ x = 0 E ⇐⇒ λ = 0 K ou x = 0 E .
De ce fait, les éléments neutres de K et de E, 0 K et 0 E , seront représentés par le
même symbole 0 sans inconvénient.
2. Sous-espaces vectoriels
2.1 Définition
Une partie non vide F d'un K-espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de
E si elle est stable pour les deux lois, et si la restriction à F des lois de E y définit une structure d'espace vectoriel.
En fait, il faut et il suffit que F vérifie :
∀λ ∈ K ∀x ∈ F ∀y ∈ F
x+ y ∈ F
λ x ∈ F ;
ou encore :
∀λ ∈ K ∀x ∈ F ∀y ∈ F
x+ λ y ∈ F .
Pour montrer que F n'est pas vide, on vérifie en général que 0 ∈ F.
2.2 Sous-espace engendré par une partie
• Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel
de E.
Attention, la réunion de sous-espaces vectoriels n'est pas en général
un sous-espace vectoriel.
• L'intersection F de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant une partie
A donnée est le sous-espace vectoriel engendré par A. C'est le plus petit (au
sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel contenant A.
On dit aussi que A est une partie génératrice de F. On note F = Vect(A).
• Le sous-espace vectoriel engendré par A est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de A, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs du
type :
n
i=1
λ i x i avec n ∈ N
∗ , ∀i λ i ∈ K x i ∈ A.
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Algèbre linéaire et multilinéaire
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