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1. Définitions et premières propriétés
1.1 Espace vectoriel
Soit K un corps d'éléments neutres notés 0 et 1.
On dit qu'un ensemble non vide E est un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, s'il est muni
• d'une loi de composition interne notée +,
• d'une loi de composition externe sur K, c'est-à-dire d'une application de K × E
dans E : (λ,x) → λ x,
telles que :
(E,+) est un groupe commutatif,
∀λ ∈ K ∀µ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E
(λ µ) x = λ (µ x) ;
(λ + µ) x = λ x + µ x ; λ (x + y) = λ x + λ y ; 1x = x .
Les éléments de E sont des vecteurs ; les éléments de K sont des scalaires.
1.2 Exemples
• L'ensemble des vecteurs du plan ou de l'espace est un R-espace vectoriel.
• K est un espace vectoriel sur K.
• C est un C-espace vectoriel, mais aussi un R-espace vectoriel.
• Le produit E 1 × · · · × E n de n espaces vectoriels sur le même corps K est un
K-espace vectoriel pour les lois :
(x 1 ,. . . ,x n ) + (y 1 ,. . . ,y n ) = (x 1 + y 1 ,. . . ,x n + y n )
λ (x 1 ,. . . ,x n ) = (λ x 1 ,. . . ,λ x n )
• L'ensemble F(X,F) des applications d'un ensemble X dans un espace vectoriel
F, est un espace vectoriel pour les opérations f + g et λ f .
• L'ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K, l'ensemble K n [X] des
polynômes de degré n, sont des K-espaces vectoriels.
52 Structure
d’espace vectoriel
1 re année
et
2 e année
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