1.3 Partie polaire quand K = C
Si la factorisation de B en polynômes irréductibles comporte un terme (X − a)
k
avec k ∈ N
∗ , on appelle partie polaire de F relative à ce terme une somme d'éléments simples du type :
α k
(X − a) k +
α k−1
(X − a) k−1 + · · · +
α 1
X − a
·
Pour une fraction F donnée, les complexes α i existent et sont uniques.
1.4 Théorème de décomposition
Toute fraction rationnelle, écrite sous forme irréductible, est égale, de façon
unique, à la somme de sa partie entière et des parties polaires relatives à chacun
des facteurs irréductibles intervenant dans la décomposition de B.
2. Méthodes pratiques de décomposition
2.1 Plan d’étude
• On met F sous forme irréductible en simplifiant par le PGCD du numérateur et
du dénominateur.
• On obtient E et R à l'aide de la division euclidienne de A par B.
• On factorise B en polynômes irréductibles.
• On écrit la forme littérale de la décomposition en éléments simples de F, ou de
R
B
·
• On détermine les coefficients à l'aide de diverses méthodes.
2.2 Détermination des coefficients
• La méthode la plus rudimentaire consiste à réduire au même dénominateur la
forme décomposée, et à identifier les numérateurs.
• Vous pouvez remplacer X par des valeurs numériques, différentes des pôles.
• Sachant que la décomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient
des relations entre les coefficients.
• En utilisant la fraction sans partie entière, lim
x→∞
x F(x) donne une relation entre
coefficients.
• En multipliant F par (X − a)
k et en remplaçant X par a, on obtient α k .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Fractions rationnelles 51
163
Algèbre générale
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Si la factorisation de B en polynômes irréductibles comporte un terme (X − a)
k
avec k ∈ N
∗ , on appelle partie polaire de F relative à ce terme une somme d'éléments simples du type :
α k
(X − a) k +
α k−1
(X − a) k−1 + · · · +
α 1
X − a
·
Pour une fraction F donnée, les complexes α i existent et sont uniques.
1.4 Théorème de décomposition
Toute fraction rationnelle, écrite sous forme irréductible, est égale, de façon
unique, à la somme de sa partie entière et des parties polaires relatives à chacun
des facteurs irréductibles intervenant dans la décomposition de B.
2. Méthodes pratiques de décomposition
2.1 Plan d’étude
• On met F sous forme irréductible en simplifiant par le PGCD du numérateur et
du dénominateur.
• On obtient E et R à l'aide de la division euclidienne de A par B.
• On factorise B en polynômes irréductibles.
• On écrit la forme littérale de la décomposition en éléments simples de F, ou de
R
B
·
• On détermine les coefficients à l'aide de diverses méthodes.
2.2 Détermination des coefficients
• La méthode la plus rudimentaire consiste à réduire au même dénominateur la
forme décomposée, et à identifier les numérateurs.
• Vous pouvez remplacer X par des valeurs numériques, différentes des pôles.
• Sachant que la décomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient
des relations entre les coefficients.
• En utilisant la fraction sans partie entière, lim
x→∞
x F(x) donne une relation entre
coefficients.
• En multipliant F par (X − a)
k et en remplaçant X par a, on obtient α k .
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