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1 re année
Fractions rationnelles
1. Décomposition en éléments simples
1.1 Définitions
• De façon analogue à un nombre rationnel quotient de deux entiers, on définit
une fraction rationnelle
A
B
à partir des polynômes A et B = / 0.
• On appelle degré de la fraction rationnelle F =
A
B
, le nombre d
◦ A − d
◦ B. On
le note d
◦ F.
• F =
A
B
étant une fraction rationnelle simplifiée, la fonction rationnelle associée
à F est la fonction ˜
F, de K dans K, définie par :
x → ˜
F(x) =
˜
A(x)
˜
B(x)
quand ˜
B(x) = / 0 .
˜
F n'est pas définie pour les zéros de B. Ce sont les pôles de F.
1.2 Forme générale de la décomposition
Une fraction rationnelle, de forme irréductible F =
A
B
(c'est-à-dire avec A et B
premiers entre eux), s'écrit de façon unique, sous la forme :
F = E +
R
B
avec d
◦ R < d
◦ B .
E est la partie entière, et
R
B
la partie fractionnaire de F.
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