C'est le plus petit commun multiple de A et de B. On le note PPCM (A,B), ou
A ∧ B.
Il s'agit du générateur unitaire de l'idéal A K[X] ∩ B K[X].
3.2 Théorème
Si A et B sont unitaires, on a :
PGCD (A,B) × PPCM (A,B) = A B .
4. Théorème de Bézout
Pour que deux polynômes A et B de K[X] soient premiers entre eux, il faut et il
suffit qu'il existe deux polynômes U et V de K[X] tels que :
A U + B V = 1 .
Si A et B sont premiers entre eux et non tous deux constants, il existe des polynômes U 0 et V 0 de K[X] uniques tels que :
A U 0 + B V 0 = 1 avec d
◦ U 0 < d
◦ B et d
◦ V 0 < d
◦ A .
5. Théorème de Gauss
Si A, B et C sont trois polynômes de K[X] tels que A divise B C, et A premier
avec B, alors A divise C.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Divisibilité dans K[X] 50
161
Algèbre générale
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:34 Page 161
A ∧ B.
Il s'agit du générateur unitaire de l'idéal A K[X] ∩ B K[X].
3.2 Théorème
Si A et B sont unitaires, on a :
PGCD (A,B) × PPCM (A,B) = A B .
4. Théorème de Bézout
Pour que deux polynômes A et B de K[X] soient premiers entre eux, il faut et il
suffit qu'il existe deux polynômes U et V de K[X] tels que :
A U + B V = 1 .
Si A et B sont premiers entre eux et non tous deux constants, il existe des polynômes U 0 et V 0 de K[X] uniques tels que :
A U 0 + B V 0 = 1 avec d
◦ U 0 < d
◦ B et d
◦ V 0 < d
◦ A .
5. Théorème de Gauss
Si A, B et C sont trois polynômes de K[X] tels que A divise B C, et A premier
avec B, alors A divise C.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Divisibilité dans K[X] 50
161
Algèbre générale
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:34 Page 161