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1 re année
Divisibilité dans K[X]
1. Idéaux de K[X ]
K[X] est un idéal principal, c'est-à-dire que tout idéal est principal. Cela signifie
que, si I est un idéal non réduit à {0}, il existe un polynôme unitaire unique P tel
que I = P K[X]. On dit que P engendre I .
2. pgcd
2.1 Définition
Soit A et B deux polynômes non nuls de K[X]. L'ensemble des polynômes unitaires qui divisent à la fois A et B admet un plus grand élément pour la relation
d'ordre associée à la divisibilité.
C'est le plus grand commun diviseur de A et de B. On le note PGCD (A,B), ou
A ∨ B.
Il s'agit du générateur unitaire de l'idéal A K[X] + B K[X] .
2.2 Algorithme d'Euclide
Si Q 1 et R 1 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B, on
a :
A ∨ B = B ∨ R 1 .
On recommence avec B et R 1 . Le dernier reste non nul (normalisé) de ce processus est le PGCD de A et de B.
2.3 Polynômes premiers entre eux
Si PGCD (A,B) = 1 , on dit que A et B sont premiers entre eux.
3. ppcm
3.1 Définition
Soit A et B deux polynômes non nuls de K[X]. L'ensemble des polynômes unitaires qui sont multiples à la fois de A et de B admet un plus petit élément pour
la relation d'ordre associée à la divisibilité.
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