2.5 Relations entres les coefficients et les racines
Si P =
n
i=0
a i X
i est de la forme ci-dessus, désignons par σ p la somme des produits p à p des racines. On a la relation :
σ p = (−1)
p a n− p
a n
·
2.6 Décomposition d'un polynôme
Tout polynôme de degré 1 se factorise en un produit d'un élément de K
∗ et de
polynômes irréductibles unitaires.
Cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près.
Dans C[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
Dans R[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1, et les
polynômes a X
2
+ bX + c avec b
2
− 4ac < 0.
Si P ∈ R[X], on peut le considérer dans C[X], et si α est un zéro non réel de P,
alors P admet aussi le conjugué α pour zéro, avec le même ordre de multiplicité
que α.
2.7 Polynôme d'interpolation de Lagrange
Soit (a 0 ,a 1 ,. . . ,a n ) des éléments de K, distincts deux à deux et des éléments
(b 0 ,b 1 ,. . . ,b n ) de K.
Il existe un unique polynôme P de degré n tel que :
∀i ∈ {0,. . . ,n}
P(a i ) = b i .
Ce polynôme est P(x) =
n
i=0
j /
=i
(X − a j )
j /
=i
(a i − a j )
b i .
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Algèbre générale
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