1.6 Polynôme dérivé
La définition et les propriétés du polynôme dérivé sont analogues à celles de la
fonction associée.
2. Racines d'un polynôme
2.1 Définition et caractérisation
Une équation algébrique est de la forme ˜
P(x) = 0 où P est un polynôme. Ses
racines sont les zéros, ou racines, de P.
Un zéro α de P est dit d'ordre k, ou de multiplicité k (avec k ∈ N
∗ ), si α est racine
d'ordre k de l'équation ˜
P(x) = 0. Cela signifie qu'il existe Q ∈ K[X] tel que
P = (X − α)
k Q avec Q(α) = / 0.
Pour K = R ou C, un zéro α de P est d'ordre au moins k si, et seulement si :
P(α) = P
(α) = · · · = P
(k−1)
(α) = 0 .
L'ordre est égal à k si, en plus, P
(k)
(α) = / 0 .
2.2 Théorème de d'Alembert-Gauss
Tout polynôme de C[X] a au moins une racine dans C.
On en déduit qu'un polynôme de C[X], de degré n, a exactement n racines dans
C, en comptant chaque racine autant de fois que son ordre de multiplicité.
2.3 Polynôme irréductible
Un polynôme P de K[X] est irréductible si d
◦ P 1 , et s'il n'est divisible que par
les polynômes associés à 1 ou à P.
2.4 Polynôme scindé
Un polynôme P de K[X] est scindé s'il s'écrit comme produit de polynômes de
degré 1, soit :
P = a n
r
i=1
(X − α i )
k i .
Polynômes
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