• Produit de deux polynômes
P Q =
m+n
k=0
d k X
k avec d k =
i+ j=k
a i b j .
On a : d
◦
(P Q) = d
◦ P + d
◦ Q .
Pour les trois lois précédentes, K[X] est une algèbre sur K.
Les seuls éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls.
K n [X] est un sous-espace vectoriel de K[X], de dimension n + 1.
• Composé de deux polynômes
Le polynôme composé de P et Q est : P ◦ Q =
n
i=0
a i Q
i .
On a d
◦
(P ◦ Q) = d
◦ P × d
◦ Q.
On écrit souvent P (Q) au lieu de P ◦ Q.
1.3 Fonctions polynomiales
P =
n
i=0
a i X
i étant un polynôme de K[X], la fonction polynomiale associée à
P est l'application ˜
P, de K dans K, définie par :
x → ˜
P(x) =
n
i=0
a i x
i .
Si K est infini, vous pouvez confondre sans risque P et ˜
P. Ce n'est
pas le cas si K est fini.
1.4 Divisibilité
Si A = B Q (avec Q ∈ K[X]), on dit que A est un multiple de B, ou que B est
un diviseur de A.
On dit que A et B sont des polynômes associés lorsque A = λ B , avec λ ∈ K
∗ .
1.5 Division euclidienne
Soit A et B deux polynômes de K[X], avec B = / 0. Il existe des polynômes
uniques Q et R dans K[X], tels que :
A = B Q + R
avec d
◦ R < d
◦ B .
On dit que Q est le quotient, et R le reste, dans la division euclidienne de A par B.
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Algèbre générale
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