156
49
1 re année
Polynômes
1. Polynômes à une indéterminée
1.1 Définitions
Un polynôme à une indéterminée, à coefficients dans un corps K, est une suite
de valeurs a i de K, nulle à partir d'un certain rang p. Un tel polynôme se note P,
ou P(X) :
P(X) = a 0 + a 1 X + · · · + a p X
p .
Les nombres a i sont les coefficients du polynôme P.
Si P = / 0 , le plus grand entier p tel que a p = / 0 est le degré du polynôme P. On
le note d
◦ P, ou deg P.
a p est le coefficient dominant de P. Lorsque a p = 1, le polynôme est dit unitaire,
ou normalisé.
Pour le polynôme nul P = 0, on convient de poser d
◦ P = −∞.
L'ensemble des polynômes à une indéterminée X, à coefficients dans K, se note
K[X].
On note K n [X] l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
1.2 Structure algébrique
Soit P =
n
i=0
a i X
i et Q =
m
j=0
b j X
j deux éléments de K[X], et λ ∈ K.
• Addition de deux polynômes
P + Q =
r
k=0
c k X
k
avec r = max (m,n) et c k = a k + b k .
On a : d
◦
(P + Q) max (d
◦ P,d
◦ Q) . Si d
◦ P = / d
◦ Q , il y a égalité.
• Produit par un scalaire
λ P =
n
i=0
(λ a i ) X
i . Si λ = / 0 , on a : d
◦
(λ P) = d
◦ P .
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:33 Page 156