154
48
1 re année
Nombres complexes
et géométrie plane
a = a 1 + ia 2 et b = b 1 + ib 2 sont deux nombres complexes donnés.
1. Transformations géométriques
• L'application de C dans C : z → z + b, se traduit sur les images par la translation de vecteur b 1
− → u + b 2
− → v .
• Si a = / 1, l'application de C dans C : z → az + b, se traduit sur les images par
la similitude de rapport |a|, d'angle arg a, et dont le centre , a pour affixe
z =
b
1 − a
·
Cette transformation est la composée, dans n'importe quel ordre, de la rotation de
centre ω et d'angle arg a, et de l'homothétie de centre et de rapport |a|.
2. Distances et angles
• Soit A et B deux points distincts, d'affixes respectifs z A et z B .
|z A − z B | est la longueur AB ; arg (z B − z A ) est une mesure de l'angle ( − → u ,
− →
AB).
• Soit A, B et C trois points, deux à deux distincts, d'affixes respectifs z A , z B , z C .
z B − z A
z C − z A
a pour module
AB
AC
, et pour argument une mesure de l'angle (
− →
AC,
− →
AB).
3. Applications
• Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,
z B − z A
z C − z A
est un réel.
•
− →
AB et
− →
AC sont orthogonaux si, et seulement si,
z B − z A
z C − z A
est un imaginaire pur.
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Nombres complexes
et géométrie plane
a = a 1 + ia 2 et b = b 1 + ib 2 sont deux nombres complexes donnés.
1. Transformations géométriques
• L'application de C dans C : z → z + b, se traduit sur les images par la translation de vecteur b 1
− → u + b 2
− → v .
• Si a = / 1, l'application de C dans C : z → az + b, se traduit sur les images par
la similitude de rapport |a|, d'angle arg a, et dont le centre , a pour affixe
z =
b
1 − a
·
Cette transformation est la composée, dans n'importe quel ordre, de la rotation de
centre ω et d'angle arg a, et de l'homothétie de centre et de rapport |a|.
2. Distances et angles
• Soit A et B deux points distincts, d'affixes respectifs z A et z B .
|z A − z B | est la longueur AB ; arg (z B − z A ) est une mesure de l'angle ( − → u ,
− →
AB).
• Soit A, B et C trois points, deux à deux distincts, d'affixes respectifs z A , z B , z C .
z B − z A
z C − z A
a pour module
AB
AC
, et pour argument une mesure de l'angle (
− →
AC,
− →
AB).
3. Applications
• Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,
z B − z A
z C − z A
est un réel.
•
− →
AB et
− →
AC sont orthogonaux si, et seulement si,
z B − z A
z C − z A
est un imaginaire pur.
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