• Équation e
z
= a
Le nombre complexe e
z a pour module e
x , et pour argument y.
Si a est un nombre complexe non nul donné, les solutions z = x + iy de l'équation e
z
= a vérifient donc :
e
x
= |a| et y = arg (a) .
• Propriétés
∀z ∈ C
∀z
∈ C
e
z e
z
= e
z+z
;
∀z ∈ C
∀n ∈ Z
e
z
n = e
nz .
Si z est une constante complexe et t une variable réelle, on a :
d
dt
e
zt
= z e
zt .
2. Racines n-ièmes d'un nombre complexe
2.1 Racines n-ièmes de l'unité
Soit U n l'ensemble des racines n-ièmes de 1, c'est-à-dire l'ensemble des nombres
complexes z tels que z
n
= 1. On a :
U n = {u 0 ,u 1 ,. . . ,u n−1 } avec u k = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
= (u 1 )
k
Propriété
n−1
k=0
u k = 0 .
2.2 Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
Tout nombre complexe non nul a = ρ (cos θ + i sin θ) possède n racines
n-ièmes :
z k =
n
√
ρ
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
avec k ∈ {0,. . . ,n − 1} .
À partir de l'une d'entre elles, on peut les obtenir toutes en la multipliant par les
éléments de U .
Exponentielle complexe
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