1. Exponentielle complexe
1.1 Nombres complexes de module 1
L'ensemble U des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif.
Son image dans le plan complexe est le cercle trigonométrique.
Soit z ∈ U. Si θ est un argument de z , on a z = cos θ + i sin θ.
On convient de noter cos θ + i sin θ = e
iθ .
L'application θ → e
iθ est un morphisme surjectif du groupe additif R sur le
groupe multiplicatif U . Son noyau est 2πZ.
1.2 Formule de Moivre
∀θ ∈ R ∀n ∈ Z
(cos θ + i sin θ)
n
= cos nθ + i sin nθ ,
ce qui s'écrit avec la notation précédente : (e
iθ
)
n
= e
inθ .
1.3 Formules d'Euler
Pour tout réel x et tout entier n, on a :
cos x =
e
ix
+ e
−ix
2
; sin x =
e
ix
− e
−ix
2i
;
cos nx =
e
inx
+ e
−inx
2
; sin nx =
e
inx
− e
−inx
2i
·
On peut utiliser ces formules pour linéariser des polynômes trigonométriques.
1.4 Exponentielle complexe
• Définition
On définit l'exponentielle du nombre complexe z = x + iy par :
e
z
= e
x e
iy
= e
x
(cos y + i sin y) .
L'application, de C dans C, z → e
z est un morphisme surjectif. Son noyau est
2iπZ.
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Algèbre générale
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Exponentielle complexe
1 re année
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