• Propriétés
Le module d'un nombre complexe a les mêmes propriétés que la valeur absolue
d'un nombre réel.
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ; |Re (z)| |z| ; |Im (z)| |z| ;
|z| − |z
|
|z − z
| |z| + |z
| ;
|zz
| = |z||z
| ; |z
n
| = |z|
n pour n ∈ N ;
z
z
=
|z|
|z |
si z
= / 0 .
2.2 Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous
forme trigonométrique :
z = ρ (cos θ + i sin θ)
avec ρ > 0 .
ρ = |z| est le module de z .
θ est un argument de z . On le note arg z . Il est
défini, modulo 2π, par :
cos θ =
x
ρ
et sin θ =
y
ρ
·
2.3 Propriétés de l'argument d'un nombre complexe non nul
Les égalités suivantes ont lieu à 2kπ près (avec k ∈ Z) :
arg (zz
) = arg z + arg z
; arg (z
n
) = n arg z avec n ∈ Z ;
arg
1
z
= − arg z ; arg
z
z
= arg z − arg z
.
Nombres complexes
46
150
y
v
M
O
u
x
ρ
θ
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:33 Page 150