L'affixe du vecteur α − → u + β − → v est le nombre complexe z = α + iβ.
Si z A et z B sont les affixes de A et B, le vecteur
− →
AB a pour affixe z B − z A .
La somme des nombres complexes correspond à l'addition des vecteurs.
1.5 Conjugué d'un nombre complexe
• Définition
Le conjugué du nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe
z = x − iy.
Attention, vérifiez bien que x et y sont réels.
• Images
Les images des nombres complexes z et z sont symétriques par rapport à l'axe des
abscisses.
• Propriétés
z = z ; z + z = z + z ; zz = zz ;
z
z
=
z
z
·
z + z = 2 Re (z) ; z est imaginaire pur si, et seulement si, z = −z .
z − z = 2i Im (z) ; z est réel si, et seulement si, z = z .
• Application au calcul de
1
z
Comme zz = x
2
+ y
2 est réel, on obtient la forme algébrique de
1
z
, ou de
z 1
z 2
, en
multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. Forme trigonométrique
2.1 Module d'un nombre complexe
• Définition
Le module de z = x + iy (où x ∈ R et y ∈ R) est le nombre réel positif
√
z z =
x 2 + y 2 . On le note |z|, ou ρ, ou r.
Si M est l'affixe de z , |z| est la longueur O M.
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Nombres complexes 46
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Algèbre générale
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