Pour qu'une partie B d'un anneau A soit un sous-anneau de A, il faut et il suffit
que 1 A ∈ B et :
∀x ∈ B ∀y ∈ B
x− y ∈ B et xy ∈ B .
1.3 Morphismes d'anneaux
A et B étant deux anneaux, une application f, de A dans B, est un morphisme
d'anneaux si l'on a toujours :
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (xy) = f (x) f (y) ; f (1 A ) = 1 B .
1.4 Structure de corps
• Éléments inversibles d'un anneau
Si A est un anneau non réduit à {0}, l'ensemble de ses éléments inversibles (c'està-dire les éléments qui admettent un symétrique pour la multiplication) est un
groupe multiplicatif.
• Corps
Un corps est un anneau non réduit à {0} dont tous les éléments, sauf 0, sont inversibles. Il est dit commutatif si l'anneau est commutatif.
Dans cet ouvrage, tous les corps seront supposés commutatifs, sans avoir besoin
de le préciser à chaque fois.
• Sous-corps
On dit qu'une partie L d'un corps K, stable pour + et ×, est un sous-corps de K,
si la restriction à L des deux lois de K y définit une structure de corps, c'est-à-dire
si c'est un sous-anneau, et si l'inverse d'un élément non nul de L reste dans L.
Pour qu'une partie non vide L d'un corps K soit un sous-corps de K, il faut et il
suffit que 1 ∈ L et que :
∀x ∈ L ∀y ∈ L
x− y ∈ L et xy ∈ L
∀x ∈ L
∗
x
−1
∈ L
∗
où L
∗
= L \ {0}
1.5 Anneau intègre
Lorqu'il existe, dans un anneau, des éléments a et b tels que
a = / 0 et b = / 0 et ab = 0 ,
on dit que a et b sont des diviseurs de zéro.
Un anneau intègre est un anneau commutatif, non réduit à {0}, et sans diviseur de
zéro.
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Autres structures algébriques 44
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Algèbre générale
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