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1 re année
Autres structures
algébriques
1. Anneaux et corps
1.1 Structure d'anneau
• Définition
Un ensemble A, muni d'une loi notée + (dite addition) et d'une loi notée × (dite
multiplication), possède une structure d'anneau pour ces opérations si :
– A possède une structure de groupe commutatif pour l'addition ;
– la multiplication est associative et possède un élément neutre ;
– la multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition.
Si la multiplication est commutative, l'anneau est dit commutatif.
• Règles de calcul
x
n
i=1
y i
=
n
i=1
x y i ;
n
i=1
y i
x =
n
i=1
y i x .
Dans un anneau commutatif, pour tout n ∈ N, on a :
(x + y)
n
=
n
k=0
n
k
x
k y
n−k
(formule du binôme),
x
n
− y
n
= (x − y)
n−1
k=0
x
n−k−1 y
k .
Si l'anneau n'est pas commutatif, ces formules restent vraies pour des
éléments permutables, c'est-à-dire tels que xy = yx.
1.2 Sous-anneau
On dit qu'une partie B d'un anneau A, stable pour + et ×, est un sous-anneau de
A, si la restriction à B des deux lois de A y définit une structure d'anneau, avec
le même élément neutre pour × que dans A.
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