σ(a 1 ) = a 2 , σ(a 2 ) = a 3 , . . . , σ(a p−1 ) = a p , σ(a p ) = a 1 .
On note σ = (a 1 ,. . . ,a p ) .
• Théorème
Tout permutation de E est décomposable en produit de cycles disjoints, deux
cycles quelconques étant permutables.
3.3 Signature d'une permutation
• Transposition
On appelle transposition de E une permutation de E qui échange deux éléments
de E, et qui laisse invariants tous les autres. C'est donc un cycle d'ordre 2.
• Parité d'une permutation
Toute permutation de E est décomposable en un produit de transpositions. Cette
décomposition n'est pas unique, mais, pour une permutation donnée, la parité du
nombre de transpositions est fixe.
Si ce nombre est pair, on dit que la permutation est paire.
Si ce nombre est impair, on dit que la permutation est impaire.
• Signature
La signature d'une permutation σ est le nombre, noté ε(σ), égal à 1 si σ est paire,
à −1 si σ est impaire.
Pour déterminer ε(σ), la méthode la plus rapide consiste à décomposer σ en produit de cycles, en sachant qu'un cycle d'ordre p peut se décomposer en p − 1
transpositions.
3.4 Groupe alterné
On a toujours ε(σ ◦ σ
) = ε(σ) × ε(σ
) .
Cette propriété signifie que l'application σ → ε(σ) est un morphisme de S n
dans le groupe multiplicatif {−1,1}.
Le noyau de ce morphisme est l'ensemble des permutations paires. C'est un sousgroupe de S n appelé groupe alterné, et noté A n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Groupes 43
139
Algèbre générale
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:33 Page 139
On note σ = (a 1 ,. . . ,a p ) .
• Théorème
Tout permutation de E est décomposable en produit de cycles disjoints, deux
cycles quelconques étant permutables.
3.3 Signature d'une permutation
• Transposition
On appelle transposition de E une permutation de E qui échange deux éléments
de E, et qui laisse invariants tous les autres. C'est donc un cycle d'ordre 2.
• Parité d'une permutation
Toute permutation de E est décomposable en un produit de transpositions. Cette
décomposition n'est pas unique, mais, pour une permutation donnée, la parité du
nombre de transpositions est fixe.
Si ce nombre est pair, on dit que la permutation est paire.
Si ce nombre est impair, on dit que la permutation est impaire.
• Signature
La signature d'une permutation σ est le nombre, noté ε(σ), égal à 1 si σ est paire,
à −1 si σ est impaire.
Pour déterminer ε(σ), la méthode la plus rapide consiste à décomposer σ en produit de cycles, en sachant qu'un cycle d'ordre p peut se décomposer en p − 1
transpositions.
3.4 Groupe alterné
On a toujours ε(σ ◦ σ
) = ε(σ) × ε(σ
) .
Cette propriété signifie que l'application σ → ε(σ) est un morphisme de S n
dans le groupe multiplicatif {−1,1}.
Le noyau de ce morphisme est l'ensemble des permutations paires. C'est un sousgroupe de S n appelé groupe alterné, et noté A n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Groupes 43
139
Algèbre générale
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:33 Page 139