2.3 Morphismes de groupes
• Définitions
Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans
G
, est un morphisme de groupes si, et seulement si,
∀x ∈ G
∀y ∈ G
f(x y) = f (x) f (y) .
Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux
groupes sont alors isomorphes.
• Composition
Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes.
• Noyau et image
Soit G et G
deux groupes notés multiplicativement, d'éléments neutres respectifs
e et e
, et f un morphisme de G dans G
. On a :
e
= f (e) ; f (x
−1
) =
f (x)
−1 .
f (G) est un sous-groupe de G
appelé image de f et noté Im f.
N =
−1
f ({e
}) = {x ; x ∈ G, f (x) = e
} est un sous-groupe de G que l'on appelle
le noyau du morphisme f. On le note Ker f.
f est injectif si, et seulement si, Ker f = {e} .
3. Groupe symétrique
Soit E un ensemble fini à n éléments , avec n 1.
3.1 Définition
L'ensemble S(E) des bijections de E, muni de la loi de composition des applications, est un groupe appelé groupe des permutations (ou substitutions) de E.
S(E) est isomorphe à S n , groupe des permutations de l'intervalle [[1,n]] de N,
appelé groupe symétrique d'ordre n.
3.2 Décomposition d'une permutation en produit de cycles
• Définition
Un cycle (ou permutation circulaire) d'ordre p est une permutation σ de E qui
laisse invariants n − p éléments de E, et telle que l'on puisse ranger les p éléments restants (a 1 ,. . . ,a p ) de manière que :
Groupes
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