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Groupes 43
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Algèbre générale
2. Groupes
2.1 Définitions
Un ensemble non vide G, muni d'une loi de composition interne ∗, est un groupe
si
– la loi est associative ;
– il existe un élément neutre e ;
– tout élément de G possède un symétrique dans G.
Si, de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif, ou abélien.
Dans un groupe, tout élément est régulier (ou simplifiable), c'est-à-dire que l'on a
toujours :
x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z ; y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z .
Généralement, un groupe est noté additivement ou multiplicativement. Le symétrique x
de x est alors noté −x dans le premier cas, x
−1 dans le second.
2.2 Sous-groupes
Une partie stable H d'un groupe G est un sous-groupe de G si la restriction à H
de la loi de G y définit une structure de groupe.
Pour qu'une partie non vide H d'un groupe G soit un sous-groupe de G, il faut et
il suffit que :
∀x ∈ H
∀y ∈ H
xy ∈ H ;
∀x ∈ H
x
−1
∈ H.
ou encore :
∀x ∈ H
∀y ∈ H
xy
−1
∈ H.
Les sous-groupes du groupe additif Z sont les ensembles :
nZ = {nx ; x ∈ Z}
où n ∈ N .
L'intersection d'une famille de sous-groupes est un sous-groupe de G.
Attention, la réunion de deux sous-groupes de G n'est un sous-groupe de G que si l'un est inclus dans l'autre.
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