1. Lois de composition interne
1.1 Définition
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E × E
dans E.
À un couple (x,y), on associe donc un élément, noté x ∗ y, ou x + y, ou xy, . . .,
appelé composé de x et de y.
1.2 Propriétés
• Une loi de composition interne ∗ sur E est :
– associative si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀z ∈ E
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ;
– commutative si :
∀x ∈ E ∀y ∈ E
x∗ y = y ∗ x .
Elle admet un élément neutre e si :
∀x ∈ E
x∗ e = e ∗ x = x .
Attention, e ne dépend pas de x.
Si l'élément neutre existe, il est unique.
• Un élément x est inversible, ou symétrisable, s'il existe x
tel que :
x ∗ x
= x
∗ x = e .
x
est dit alors inverse, ou symétrique, de x.
• Si ∗ et sont deux lois de composition interne de E, on dit que ∗ est distributive par rapport à , si l'on a toujours :
x ∗ (yz) = (x ∗ y)(x ∗ z)
et (yz) ∗ x = (y ∗ x)(z ∗ x) .
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Groupes
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