Pour qu'un anneau commutatif, non réduit à {0}, soit intègre, il faut et il suffit que
tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication.
1.6 Idéal d'un anneau commutatif
Soit A un anneau commutatif. Une partie I de A est un idéal si I est un sousgroupe de (A,+) et si, pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, on a xa ∈ I.
L'intersection I ∩ J et la somme I + J de deux idéaux sont des idéaux.
Un idéal est principal s'il est engendré par un seul élément.
Un anneau intègre est principal si tous idéaux sont principaux.
2. Espaces vectoriels et algèbres
2.1 Espace vectoriel
Voir fiche 52.
2.2 Algèbre
• Définition
On dit qu'un ensemble E est une algèbre sur un corps K, ou K-algèbre, s'il est
muni de deux lois internes, notées + et ×, et d'une loi externe sur K, notée ., avec
les propriétés :
(E,+,.) est un K-espace vectoriel,
(E,+,×) est un anneau.
∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E λ (x y) = (λ x) y = x (λ y) .
L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R, muni des opérations f + g, f g,
λ f, est une algèbre sur R.
• Sous-algèbre
Une partie d'une algèbre, stable pour les trois lois, est une sous-algèbre si elle
possède une structure d'algèbre pour la restriction des lois de l'algèbre, c'est-àdire si c'est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau.
• Morphismes
E et F étant deux algèbres, une application f, de E dans F, est un morphisme d'algèbre si elle transporte les trois lois, c'est-à-dire si l'on a toujours :
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (xy) = f (x) f (y) ; f (λx) = λ f (x) .
et si f (1 E ) = 1 F .
Autres structures algébriques
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tout élément non nul soit simplifiable pour la multiplication.
1.6 Idéal d'un anneau commutatif
Soit A un anneau commutatif. Une partie I de A est un idéal si I est un sousgroupe de (A,+) et si, pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, on a xa ∈ I.
L'intersection I ∩ J et la somme I + J de deux idéaux sont des idéaux.
Un idéal est principal s'il est engendré par un seul élément.
Un anneau intègre est principal si tous idéaux sont principaux.
2. Espaces vectoriels et algèbres
2.1 Espace vectoriel
Voir fiche 52.
2.2 Algèbre
• Définition
On dit qu'un ensemble E est une algèbre sur un corps K, ou K-algèbre, s'il est
muni de deux lois internes, notées + et ×, et d'une loi externe sur K, notée ., avec
les propriétés :
(E,+,.) est un K-espace vectoriel,
(E,+,×) est un anneau.
∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E λ (x y) = (λ x) y = x (λ y) .
L'ensemble F(R,R) des fonctions de R dans R, muni des opérations f + g, f g,
λ f, est une algèbre sur R.
• Sous-algèbre
Une partie d'une algèbre, stable pour les trois lois, est une sous-algèbre si elle
possède une structure d'algèbre pour la restriction des lois de l'algèbre, c'est-àdire si c'est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau.
• Morphismes
E et F étant deux algèbres, une application f, de E dans F, est un morphisme d'algèbre si elle transporte les trois lois, c'est-à-dire si l'on a toujours :
f (x + y) = f (x) + f (y) ; f (xy) = f (x) f (y) ; f (λx) = λ f (x) .
et si f (1 E ) = 1 F .
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