2.5 Fonction lipschitzienne
f est une fonction lipschitzienne de rapport k, ou k−lipschitzienne, si :
∀x ∈ D ∀y ∈ D
| f (x) − f (y)| k |x − y| .
Lorsque k < 1, f est dite contractante.
3. Relation d'ordre
3.1 Comparaison de fonctions
f et g étant deux fonctions, à valeurs réelles, définies sur le même ensemble de
définition D, on note f g (resp. f g) si :
∀x ∈ D f(x) g(x) (resp. f (x) g(x) ).
Si f 0, f est dite positive.
3.2 Majorant, minorant
Si l'ensemble des images f (D) est majoré, ou minoré, ou borné, on dit que f est
majorée, ou minorée, ou bornée.
Si l'image f (I ) de I admet une borne supérieure, ou une borne inférieure, on parle
de borne supérieure, de borne inférieure, de f sur I et on note :
sup
x∈I
f (x) ; inf
x∈I
f (x).
3.3 Propriétés
inf
x∈I
f (x) = − sup
x∈I
− f (x)
.
Si, pour tout x ∈ I, on a f (x) g(x) , alors sup
x∈I
f (x) sup
x∈I
g(x) .
Si I ⊂ J , on a sup
x∈I
f (x) sup
x∈J
f (x).
4. Opérations sur les fonctions
4.1 Valeur absolue d'une fonction
f étant définie sur D, la fonction | f | est définie sur D par x → | f (x)|.
On définit aussi f
+ et f
− sur D par :
f
+
(x) = sup ( f (x),0) ; f
−
(x) = sup (− f (x),0) .
On a alors f = f
+
− f
− et | f | = f
+
+ f
− .
Fonctions numériques
2
8
9782100549245-fredon-C02.qxd 18/06/10 10:02 Page 8