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Fonctions numériques 2
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Analyse dans
R
2. Premières propriétés
2.1 Parité
• f est paire si
∀x ∈ D f
(−x) ∈ D f et f (−x) = f (x).
Son graphe est symétrique par rapport à (Oy).
• f est impaire si
∀x ∈ D f
(−x) ∈ D f et f (−x) = − f (x) .
Son graphe est symétrique par rapport à O.
2.2 Périodicité
f est périodique, de période T (ou T-périodique), si
∀x ∈ D f
(x + T ) ∈ D f et f (x + T ) = f (x) .
Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT
− →
i avec k ∈ Z.
2.3 Sens de variation
• f est croissante sur I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
• f est décroissante sur I si I ⊂ D f et
∀x 1 ∈ I ∀x 2 ∈ I
x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) f (x 2 ) .
• f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I .
• Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement
décroissante, strictement monotone, sur D f .
2.4 Extremum
• f admet un maximum (resp. minimum) global en x 0 si :
∀x ∈ D f
f (x) f (x 0 )
(resp. f (x) f (x 0 )).
• f admet un maximum (resp. minimum) local en x 0 ∈ D f , s'il existe un intervalle
ouvert I ⊂ D f , tel que :
∀x ∈ I f(x) f (x 0 )
(resp. f (x) f (x 0 )).
Un maximum ou un minimum local est dit extremum local en x 0 .
Un extremum est un maximum ou un minimum.
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