130
41
1 re année
Entiers naturels
1. Nombres entiers naturels
1.1 Propriétés fondamentales de N
L'ensemble N des entiers naturels est totalement ordonné et vérifie les propriétés :
Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
Toute partie non vide majorée de N a un plus grand élément.
N n'a pas de plus grand élément.
1.2 Raisonnement par récurrence
Soit E(n) un énoncé qui dépend d'un entier naturel n.
Si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, l'implication E(k) ⇒ E(k + 1) est
vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n.
Ce principe a diverses variantes, par exemple :
si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, l'implication
E(0) et E(1) et . . . et E(k)
⇒ E(k + 1)
est vraie, alors l'énoncé E(n) est vrai pour tout entier n.
2. Ensembles finis
2.1 Définition
Un ensemble E est fini s'il existe une bijection d'un intervalle [[1,n]] de N sur E.
Le nombre n est le cardinal (ou nombre d'éléments) de E. On le note n = card E.
On convient que l'ensemble vide est fini, et que card ∅ = 0 .
Si E n'est pas vide, il existe une bijection strictement croissante, et une seule, de
l'intervalle [[1,n]] sur E.
9782100549245-fredon-C37-51.qxd 18/06/10 10:33 Page 130