2.2 Inclusion
Soit E un ensemble fini. Toute partie A de E est finie, et on a :
cardA card E ;
l'égalité des cardinaux ayant lieu si, et seulement si, A = E.
Attention, cette propriété, qui semble intuitive, n'est pas vraie pour
les ensembles infinis. Par exemple, l'ensemble P des entiers naturels
pairs est en bijection avec N, et pourtant P = / N.
Une partie non vide A de N est finie si, et seulement si, elle est majorée.
2.3 Applications
Soit E et F deux ensembles finis de même cardinal, et f une application de E dans
F. On a l'équivalence des trois propriétés :
f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
Dans ce cas, pour démontrer que f est bijective, il suffit de démontrer, soit que f
est injective, soit que f est surjective.
Cette propriété n'est pas vraie pour les ensembles infinis.
3. Sommes et produits
3.1 Notations
Dans R, considérons une famille d'éléments a 1 ,. . . ,a n .
On note cette famille (a i ) 1in , la somme des termes
n
i=1
a i ou
1in
a i , le produit
des termes
n
i=1
a i ou
1in
a i .
Lorsque l'indice décrit, non plus {1,. . . ,n}, mais un ensemble fini I , on note de
même (a i ) i∈I ,
i∈I
x i ,
i∈I
x i .
En particulier, on utilise souvent I = {1,. . . ,n} × {1,. . . ,p} avec un indice noté
i, j, ou i j.
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Entiers naturels 41
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Algèbre générale
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