2.3 Éléments particuliers
Soit A une partie d'un ensemble ordonné E.
• S'il existe un élément a de E tel que, pour tout x ∈ A, on ait x ≺ a, on dit que
a est un majorant de A, que A est une partie majorée de E.
De même, un élément b de E est un minorant de A si b ≺ x pour tout x de A. On
dit alors que A est une partie minorée de E.
Une partie bornée de E est une partie qui est à la fois majorée et minorée.
• Un élément a de E est appelé plus grand élément de A si a ∈ A et si a est un
majorant de A. Si un tel élément existe, il est unique.
De même, un élément b de E est le plus petit élément de A si b ∈ A et si b est un
minorant de A.
• On appelle borne supérieure d'une partie majorée A, le plus petit des majorants
de A, et borne inférieure d'une partie minorée A le plus grand des minorants de
A.
Si ces bornes existent, elle sont uniques.
Dans (R,), pour démontrer que a est la borne supérieure de A, on démontre
souvent :
– que c'est un majorant, soit x a pour tout x ∈ A ;
– que, pour tout ε > 0 , a − ε n'est pas un majorant, c'est-à-dire qu'il existe
x ∈ A tel que a − ε < x.
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Algèbre générale
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