2.1 Applications injectives
f est dite injective (ou est une injection) si elle vérifie l'une des deux propriétés
équivalentes :
∀x ∈ E ∀x
∈ E
x = / x
⇒ f (x) = / f (x
)
∀x ∈ E ∀x
∈ E
f(x) = f (x
) ⇒ x = x
.
Ne confondez pas avec la définition d'une application qui s'écrit :
∀x ∈ E ∀x
∈ E
x = x
⇒ f (x) = f (x
)
∀x ∈ E ∀x
∈ E
f(x) = / f (x
) ⇒ x = / x
.
2.2 Applications surjectives
f est dite surjective (ou est une surjection) si tout élément y de F est l'image d'au
moins un élément x de E, soit :
∀y ∈ F ∃x ∈ E y = f (x) .
2.3 Applications bijectives
f est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois injective et surjective.
Dans ce cas, tout élément y de F est l'image d'un, et un seul, élément x de E. À
tout y de F, on associe ainsi un x unique dans E noté f
−1
(y). f
−1 est la bijection
réciproque de f. On a donc :
x = f
−1
(y) ⇐⇒ y = f (x) ,
ce qui entraîne f ◦ f
−1
= I d F et f
−1
◦ f = I d E .
2.4 Théorème
Soit f une application de E dans F, et g une application de F dans G. On a les
implications qui suivent.
Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
Si g ◦ f est injective, alors f est injective.
Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective, et (g ◦ f )
−1
= f
−1
◦ g
−1 .
Applications
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